12.01.2009

Twierdzenie o istnieniu łańcucha a Twierdzenie Poincare Brouwera o punkcie stałym

Na poprzednim spotkaniu wykazaliśmy następujące twierdzenie (o istnieniu łańcucha): Dla dowolnego rozbicia $T(k)$ kostki $I^n$ i dowolnej funkcji kolorującej $F\colon T(k)\to \{1,...n\} istnieje liczba naturalna $i\in \{1,...n\}$ oraz łańcuch $P_1,...,P_r$ $i$-tego koloru taki, że $P_1\cap I^+_i \neq \emptyset$ i $P_r\cap I^-_i \neq \emptyset$. Gdzie $P_1,...,P_r\in T(k)$ jest łańcuchem jeśli $P_i\cap P_{i+1}$ jest niepuste. Postaram się wykazać, że to twierdzenie jest równoważne z Twierdzeniem Brouwera o punkcie stałym. Pragnę również dla n=3 zaprezentować nowy, algorytmiczny dowód Twierdzenia Poincare.