10.10.2008

O algebrach relacji pomiędzy zbiorami przybliżonymi

Wśród metod modelowania więzów pomiędzy skończoną ilością obiektów można wyróżnić podejście relacyjne. W tym przypadku więzy definiuje się jako elementy pewnej algebry relacji określonej na przestrzeni obiektów. Jedną z zalet takiego podejścia jest możliwość wprowadzenia wygodnego formalizmu macierzy relacji, w którym odpowiednio zdefiniowany operator mnożenia jest równocześnie narzędziem wnioskowania i upraszczania układu więzów. Z punktu widzenia zastosowań praktycznych, wskazanym jest, by rozważana algebra relacji była algebrą atomową (np. algebrą skończoną) i nie zawierała nieskończonych, zstępujących łańcuchów. Warunek ten spełnia np. algebra Allena służąca do modelowania związków czasowych.

Przedmiotem moich zainteresowań jest możliwość zastosowania wspomnianych wyżej metod relacyjnych w teorii zbiorów przybliżonych. Rozważamy zbiór relacji pomiędzy podzbiorami X,Y pewnego uniwersum, określonych warunkiem L'op₁(X) jest podzbiorem op₂(Y)", gdzie op₁ i op₂ to operatory dolnej lub górnej aproksymacji. Przedstawię kilka wstępnych rezultatów:

1. zdefiniowany zbiór jest zamknięty ze względu na złożenia relacji,
2. właściwa algebra relacji generowana przez wspomniany zbiór może w ogólnym przypadku zawierać nieskończone, zstępujące łańcuchy.