1.03.2005

Trójkąty liczbowe i ich zastosowanie przy obliczaniu równowag w grach z nieskończoną liczbą graczy

Opisana zostanie procedura wyznaczania równowag w grach ze skończoną liczbą typów graczy i strategii. W przypadku gier afinicznych, tzn. takich, w których gracze (w przypadku jednego typu) mają wypłaty, przy wyborze strategii j (sposród k), postaci a_j1*x_1+...+a_jk*x_k+bj (x jest rozkładem wyboru strategii), ta procedura pozwala znaleźć wszystkie równowagi. Podobnie jest w przypadku wielu typów, tylko jest trochę więcej oznaczeń. W przypadku ogólnym (nieafinicznym) procedura sprowadza problem do rozwiązania układu równań nieliniowych. Jeżeli potrafimy znaleźć wszystkie rozwiązania takiego układu, to otrzymamy też wszystkie równowagi gry.
Przedstawione zostaną szczególne przypadki gier z jednym typem graczy, kiedy strategie są ustawione w cykl (1,2,...,k,1), a wypłata, przy wyborze j-ej wynosi alpha*x_(j-1)+x_j+alpha*x_(j+1), 0=<alpha<1/2 W takich grach, dzięki występującej symetrii, procedura znacznie się upraszcza, a parametrami wyznaczającymi równowagi okazują się wyrazy odpowiednio skonstruowanego trójkąta liczbowego, przez co rozumiem nieskończoną macierz trójkątną, w której pierwszy wiersz (lub kilka pierwszych) jest zadany, a kolejne wyznacza się z poprzednich przy pomocy rekurencyjnej formuły.